Rätsel

[Tess]

Aus den Zahlen 1 bis 10 sollen 5 Zahlenpaare gebildet werden, deren Summe 5 unterschiedliche Primzahlen ergeben.

10 + 9 = 19
7 + 6 = 13
8 + 3 = 11
5 + 2 = 7
4 + 1 = 5

Zusatz: Warum kann man mit den Zahlen von 1 bis 50 keine 25 Zahlenpaare bilden, deren Summe unterschiedliche Primzahlen ergeben (einfacher Beweis)?

ja, das frage ich mich auch die ganze Zeit, warum bloss nicht ? ......

[Gerd]

Hallo zusammen!

@Andi: Im Ergebnis richtig! Allerdings ist die Gesamtzahl der Goldstücke nur n³. Der Ratgeber erhält n Goldstücke, und für die Söhne bleiben n³ - n Goldstücke übrig.
Dieser Rest kann dann so geschrieben werden:
n³ - n = (n - 1) x n x (n + 1)

Deine Beweisführung ist korrekt. Wahrscheinlich hattest du eben als nächste Stufe die Reihe 1 - 2 - 4 - 8 (oder so ähnlich im Sinn).

@Tess: ebenfalls korrekt!
Beim Zusatz musst du nicht groß probieren. Denke mal an die größte Zahl, die möglich ist (und an die kleinste) und dann noch an die Anzahl der Primzahlen in diesem Bereich.

LG Gerd

[Andi]

Hallo zusammen!

@Andi: Im Ergebnis richtig! Allerdings ist die Gesamtzahl der Goldstücke nur n³. Der Ratgeber erhält n Goldstücke, und für die Söhne bleiben n³ - n Goldstücke übrig.
Dieser Rest kann dann so geschrieben werden:
n³ - n = (n - 1) x n x (n + 1)

Ups, es sind ja nur n Goldstücke pro Truhe, und nicht n^2. Da habe ich mich wo verlesen....

Deine Beweisführung ist korrekt. Wahrscheinlich hattest du eben als nächste Stufe die Reihe 1 - 2 - 4 - 8 (oder so ähnlich im Sinn).

Hatte ich nicht, ich habe mich verlesen (ich hatte soviele Goldstücke, wie es Kisten gibt, und nicht wie es Kisten PRO GEWÖLBE gibt, angenommen). Ich hab mir das dann mathematisch (mit n und so) aufgeschrieben, und mich erinnert, daß wir anno dazumal in der Mathevorlesung beweisen haben, daß das durch 6 teilbar ist...

Der einzige Unterschied im Beweis ist, daß ich für n³-n Goldstücke den Beweisschritt "Wenn n durch 3 teilbar ist, dann ist es auch n²" nicht brauche...

Gruß Andi

[stone]

@ Gerd:
http://www.mightandmagicworld.de/phpbb/ ... 790#149790
Ist das richtig?

[Gerd]

*Oops* Ist mir echt peinlich!
Vielen Dank für deinen Hinweis, stone!!!

Ich hab die Posts auf der vorigen Seite ab numquam gar nicht gelesen, sondern gleich auf dieser Seite bei Andi weitergemacht. Sorry!

Also:
@numquam: Ist eine richtige Möglichkeit.

@Sharookan: Deine Smilies sind natürlich auch goldrichtig.

@stone: absolut korrekt. Mein Kompliment. Ist eine starke Leistung von dir.

@Tess: Mir gefällt deine Phantasie. Ehrlich!

Liebe Grüße euch allen
Gerd

[Tess]

@Tess: Mir gefällt deine Phantasie. Ehrlich!

Liebe Grüße euch allen
Gerd

Danke , freut mich, noch ne Moeglichkeit:
aus

XI + I = X

macht man

III - I = II

indem man die ueberkreuzten Streichhoelzer verdreht und bei dem + eines wegnimmt.

[numquam]

@Tess: Mir gefällt deine Phantasie. Ehrlich!

Liebe Grüße euch allen
Gerd

Danke , freut mich, noch ne Moeglichkeit:
aus

XI + I = X

macht man

III - I = II

indem man die ueberkreuzten Streichhoelzer verdreht und bei dem + eines wegnimmt.

Liebe @tess da könnten wir jetzt lange diskutieren ob "verdrehen" und "wegnehmen" ein "umlegen" ist. Das war nämlich die Voraussetzung, wenn ich mich recht....

der kleinliche numquam

[Tess]

Weggenommen wird, wie bei Chmuls Loesung, nur das senkrecht liegende Streichholz vom +.

Bei den ueberkreuzten X bleiben die einzelnen Hoelzer an derselben Stelle, sie werden nur senkrecht ausgerichtet. Ist zwar hart an der Grenze, aber kein umlegen.

[Gerd]

Weggenommen wird, wie bei Chmuls Loesung, nur das senkrecht liegende Streichholz vom +.

Bei den ueberkreuzten X bleiben die einzelnen Hoelzer an derselben Stelle, sie werden nur senkrecht ausgerichtet. Ist zwar hart an der Grenze, aber kein umlegen.

So ist's richtig Tess.

Und bis jetzt hat ja nur das Dezimalsystem Anwendung gefunden.

Aber durch deine Drehungen ist mir eine neue Aufgabe eingefallen: Wie viele Bleistifte (Streichhölzer) lassen sich so legen, dass jeder Bleistift alle anderen berührt? Die Bleistifte sollten handelsüblich sein und dürfen nicht geknickt, zerbrochen usw. werden.
Macht es einen Unterschied in der Anzahl, wenn die Stifte unterschiedlich lang sein dürfen?

LG Gerd

[stone]

Wenn jeder Bleistift gleichzeitig alle anderen berühren soll, können das nur 3 sein. Ein vierter hätte chon wieder Probleme wirklich überall Kontakt zu bekommen.

[Gerd]

Wenn jeder Bleistift gleichzeitig alle anderen berühren soll, können das nur 3 sein. Ein vierter hätte chon wieder Probleme wirklich überall Kontakt zu bekommen.

Hi stone!

2 Bemerkungen zu der Aufgabe:

1. Es genügt jeweils 1 Berührungspunkt (egal wie groß der auch ist).
2. Die Lösung sollte ein 3D-Modell sein. Es ist also nicht nötig, dass die Bleistifte alle auf einer ebenen Fläche angeordnet werden.


Liebe Grüße
Gerd

[stone]

Hatte mir das schon dreidimensional gedacht. Aber wohl zu praxisbezogen. Leg die mal irgendwo übereinander so dass sie sich berühren. 4 geht vielleicht nach etwas Überlegung doch noch, aber dann ist irgendwo der Bart ab.

Naja, mit viel Fantasie und wenn alle ideal angespitzt sind, ....
dann können sich alle mit dem Endpunkt der Spitze gegenseitig berühren und strahlenförmig auseinandergehen - dann könnte es ne ganze Menge werden.

[Gerd]

Wenn man die Bleistifte extrem anspitzt, dann kann ich mir trotzdem höchstens 5 vorstellen.
3 Bilden so eine Art Stern, und senkrecht dazu einer von oben und einer von unten.
Man kann sich vorstellen, die Spitzen mit einem Mikroskop zu vergrößern, dann sieht man, dass immer noch Raum benötigt wird.

Bei den Lösungen, die ich mir vorstelle, braucht man die Bleistifte nicht zu spitzen.
Ich weiß nur noch nicht, wie ich das optisch hier darstelle.

Liebe Grüße
Gerd

[Tess]

Also ein paar kriege ich auch auf einer Ebene unter:

Die Bleistifte (Streichhoelzer) sind ungespitzt, jeder Strich stellt einen dar:

/ ! \ auf eine Flaeche legen, wobei ! etwas mehr
nach Sueden liegt, so dass sich die Kanten
beruehren

_
_
_ darueberlegen, so dass sie sich an den
Laengsseiten beruehren
*edit* : damit sich oberster und unterster
auch beruehren muss man sie "kippen", so
dass sich die Kanten treffen

Das sind schon mal 6 auf einer Ebene.

Dreidimensional laesst sich mehr herausholen, aber da weiss ich auch nicht, wie ich das beschreiben soll.

An den stern mit den Spitzen hatte ich auch gedacht, aber das geht mit Streichhoelzern schlecht

[Phillip_Lynx]

Also mit Standart Bleistiften komme ich nur auf 2, weil die Form mehr verhindert.

Kann man allerdings die Bleistifte 'ideal' anspitzen (d.h. dass die Spitzen wirklich Punkte sind und sie nicht abgemalt sind) und man sie so spitzt, das die Spitze den ganzen Bleistisst lang sind (also sehr Spitze Winkle vorne) dann kommt es auf die Länge der Bleistifte ann. Diese würde ich dann als Radien um den Mittelpunkt, der von den Spitzen gebildet wird anordnen (als Kugel). Je spiztzer der Winkel (d.h. je länger die Bleistifte) umsomehr kann man anordnen.

Bei Streichhölzern (auch hier ideal. d.h. quadratische Grundfläche, aber mit Zündköpfen) komme ich auf mindestens 5. 4 als Turm angeordnet, so dass sich die Ecken in der Grundfläche berühren und das letzte mit einer Ecke der Grundfläche and die anderen 4 Ecken.

@ Tess

Die Bleistifte (Streichhoelzer) sind ungespitzt, jeder Strich stellt einen dar:

/ ! \ auf eine Flaeche legen, wobei ! etwas mehr
nach Sueden liegt, so dass sich die Kanten
beruehren

Ok, drei Bleistifte

_ darueberlegen, so dass sie sich an den
Laengsseiten beruehren
*edit* : damit sich oberster und unterster
auch beruehren muss man sie "kippen", so
dass sich die Kanten treffen

Aber da sehe ich nicht, das sich der oben links mit dem unten Rechts berührt

[Gerd]

Ich wollte ein kleines Bild reinstellen. Leider krieg ich da immer eine Fehlermeldung in der Vorschau.

Also: Ich glaube, dass man 4 Stifte nicht in einer Ebene zusammenbringt. Egal wie gut die Stifte angespitzt sind. Wenn man 3 nimmt klappt es gut. Da bleibt in der Mitte eine kleine Fläche frei. 2 weitere Stifte sind vorne so abgeflacht, dass sie in die freie Fläche der 3 Stifte passen und sich berühren. Dadurch hat man 5 Stifte.

Mit der Lösung von Tess hat man 6 Stifte: Man legt 2 Stifte in V-Form zusammen und schiebt einen dritten Stift in den Winkel, bis er die 2 Stifte berührt. Dasselbe Gebilde legt man quer dazu auf die 3 Stifte und hat so schon 6.

Für 7 Stifte hatte ich das Bildchen, das leider nicht geklappt hat.
Kennt sich da einer von euch aus? Es hatte nur knapp 3 KB. In der Vorschau kam da dann eine Fehlermeldung.

Bis dann!
Gerd

[Gerd]

Ich versuch's jetzt noch mal, und wenn es nicht klappt, dann lösch ich den Post eben.

[Gerd]

Naja! Besonders viel kann man da nicht erkennen. Aber, wie gesagt, es ist mein erster Versuch. Und Speicherplatz wollte ich auch sparen (von 1.3 MB auf 2-3 KB).

Es sind unten 3 Bleistifte, die in der Mitte ein kleines Dreieck frei lassen, in welches genau ein Bleistift passt. In der 2. Ebene werden dann 3 weitere Stifte so angeordnet, dass sie jeweils mit einem Stift darunter ein V bilden.

Es gibt noch eine Lösung mit 8 Stiften, die dann allerdings nicht alle die gleiche Länge haben.

LG Gerd

[stone]

Jetzt könnte ich auch einfach gelegentlich schon vorgekommene Spitzfindigkeiten in Frageformulierungen einfach mal gegen dich verwenden und behaupten, in dem Modell "liegen" nicht alle Stifte.
Ausserdem würden sie nicht so liegenbleiben.

Eine weitere Lösung, wenn ich die Bleistifte beliebig anspitzen darf wäre, sie zu Spänen zu verarbeiten und dann ordentlich durchzumischen. Dann berühren irgendwelche Späne von jedem Stift irgendwelche Späne von jedem anderen Stift .... dann geht ne ganze Menge ...

Naja, ich will ja nicht nur hier rumspammen .... also mal was produktives (hoffe auch neues):

Zwei Bäuerinnen verkauften Äpfel, jede 30 Stück. Die erste verkaufte 2 Äpfel für 1 Kopeke und die zweite 3 Äpfel für eine Kopeke. Die erste erhielt demnach 15 Kopeken, die zweite 10 Kopeken.

Eines Tages konnte die zweite Bäuerin nicht auf den Markt gehen und bat die erste, ihre Äpfel mit zu verkaufen. Diese verkaufte 5 Äpfel für 2 Kopeken, weil die beiden sonst immer 2 Äpfel für 1 Kopeke und 3 Äpfel für 1 Kopeke verkauft hatten. Sie hatte 60 Äpfel und verkaufte sie in 12 Portionen zu jeweils 5 Stück. Dafür erhielt sie 24 Kopeken.

Wo ist die 25. Kopeke geblieben?

[Gerd]

Hi stone!

Zuerst mal zu deinem Rätsel:
Eine Bäuerin verkauft 10 Einheiten Äpfel, die andere 15 Einheiten.
Wenn die Bäuerin, die für ihre Kollegin Äpfel mitverkauft, wieder 2 Haufen zu 30 Äpfeln bildet, dann erkennt man schnell, dass ihr, wenn sie weiterhin vom einen Haufen 2 und vom anderen 3 nimmt, nach 10 Verkäufen der 3er-Haufen aus geht. Sie muss sich also 2x vom (teureren) 2er-Haufen bedienen, sie verkauft also 6 Äpfel für den Preis, der von diesem Haufen für 4 Äpfel verlangt würde.


Nun zu den Rätseln allgemein:
Ich sehe die Spitzfindigkeiten eigentlich auf der Raterseite.
Von Anfang an haben einige Leute immer wieder versucht, die Rätsel zu schrotten, indem sie eine Art Rätselbeugung betrieben haben. Da hab ich nichts dagegen , nur gibt es natürlich Zeiten, wo es mich schon mal nerven kann.
Deshalb versuche ich eben, die Aufgaben einigermaßen abzusichern. Natürlich ist das zu 100% nicht möglich, und ich muss dann immer wieder nachbessern.
Aber prinzipiell sollte die Aufgabe so gesehen werden, wie sie da steht.
Gerade die Bleistiftaufgabe ist auch so ein Beispiel.
Es geht ja nicht darum, dass man sie vielleicht nur im Weltraum in der Praxis lösen kann.
Deshalb folgt jetzt das Bild mit der ultimativen Lösung (ohne Spitzfindigkeiten, und die Stifte liegen auch alle).

Liebe Grüße
Gerd