Hier eine wirklich harte Matheaufgabe (LA)

[Castore]

Heyho !

Habe hier mal wieder eine Aufgabe, welche einen klugen Kopf verlangt. Vielleicht kann mir ja jemand helfen der sich gerne durch LA1 gequält hat !

Vorhang auf:

Seien A aus Mn(K) und P aus K[X].
a) Zeige: Ist lambda aus K ein Eigenwert von A, so ist P(lambda) ein Eigenwert von P(A).
b) Es werde vorausgesetzt, dass K ein Teilkörper von C ist. Ist dann jeder Eigenwert mü aus K von P(A) von der Form P(lambda) für einen
Eigenwert lambda aus C von A?

Danke im Vorraus und Respekt für den, der da durch blickt

[Arthur Dent]

Wofür stehen C, Mn(K), X und K[X]?

Aufgabenteil a. sieht jedenfalls nicht so furchtbar schwer aus. Muss man nur die Definitionen einsetzen:

(1) lambda aus K ein Eigenwert von A
(2) <=> es existiert ein x aus **** so dass A x = lambda x
(3) <=>es existiert ein x aus **** so dass P(a) x = P(lambda) x
(4) <=> P(lambda) ist Eigenwert von P(A).


Bin mir nicht ganz sicher, welche Menge für **** eingesetzt werden muss. Halt die Menge des Körpers. Bin mir aber bei der Terminologie unsicher, ob das K, X oder K[X] ist.

Um die Äquivalenz von (2) und (3) zu zeigen, würde ich den Existenzquantor weglassen und einfach versuchen zu beweisen, dass für jedes x aus der Definitionsmenge gilt: A X = lamda x genau dann wenn P(a) x = P(lambda) x ist. Falls P einfach eine lineare Transformation ist, sollte das nicht allzu schwierig sein.

[Aristad]

Ich nehme mal an, dass K ein Körper ist, Mn(K) die Menge der n*n-Matrizen über diesem Körper ist, und dass K[X] die Menge der Polynome über K bedeutet.
Dann schlage ich vor:
a) so wie Arthur Dent:
(1) lambda EW von A
(2) => ex. x aus K: Ax = lambda x
(3) => P(A)x = P(lambda)x
(4) => P(lambda) ist EW von P(A)
um (2)=>(3) zu zeigen, reicht zu zeigen dass A^n x = lambda^n x (einfach, z.B. per Induktion). Der Rest folgt aus den Körperaxiomen (also dass k*A^n x + l*A^m x = k*lambda^n x + l*lambda^m x ist).


b) Betrachten wir Matrizen mit Doppeldiagonalstruktur, d.h. außer den Elementen der Hauptdiagonale und der Diagonale darüber sind alle Einträge 0. Wenn wir 2 solche Matrizen multiplizieren, C = A*B, so hat C wieder die gleiche Struktur, und die Hauptdiagonalelemente von C sind gerade die Produkte der entsprechenden Hauptdiagonalelemente der Matrizen A und B. Davon überzeugt man sich leicht durch Multiplikation zweier solcher Matrizen. Trivialerweise ergibt Addition A+B und Skalarmultiplikation k*A wieder Matrizen derselben Struktur.
Wir stellen weiterhin fest, dass die Hauptdiagonalelemente gerade die Eigenwerte sind. Das sieht man anhand des charakteristischen Polynoms det(C - lambda*E), wenn man die Determinante nach Reihen, von unten angefangen, entwickelt.

Sei J eine solche Doppeldiagonalmatrix. Dann ist P(J) ebenfalls in Doppeldiagonalstruktur, und die Diagonalelemente (und damit Eigenwerte) sind gerade P(lambda), wobei lambda die Eigenwerte von J sind. In diesem Fall gilt also für alle Eigenwerte µ von P(J): es ex. ein EW lambda von J so dass µ = P(lambda).

Im Komplexen lässt sich nun jede Matrix A auf Jordansche Normalform (ein Spezialfall der Doppeldiagonalmatrizen) bringen:
Aj = QAQ_ (wobei Q_ die Inverse Matrix von Q sein soll)
Diese Matrix Aj hat die gleichen Eigenwerte wie A (wenn wir die Menge der Eigenwerte von A mit EW(A) bezeichnen (Spektrum), so ist EW(A) = EW(Aj)).

Für die Eigenwerte von P(A) gilt nun:
EW(P(A)) = EW(Q*P(A)*Q_) = EW(P(Aj)) = P(EW(Aj)). Den letzten Schritt haben wir schon gezeigt, es fehlt noch zu zeigen dass Q*P(A)*Q_ = P(Aj) ist. Für Potenzen von A gilt das: Q*A²*Q_ = Q*A*Q_*Q*A*Q_ = Aj*Aj = Aj^2. Auf gleiche Weise gilt Q*A^n*Q_ = Aj^n, und Q*(P(A))*Q_ = P(Aj).
Damit ist Teil b) gelöst: P(A) hat genau die Eigenwerte P(lambda) wobei lambda EW von A ist.



Der letzte Teil in der Frage b), nämlich dass lambda aus C ist (im Gegensatz zu lambda aus K), ist übrigens wesentlich: Wenn A die Drehmatrix um 90° im R² ist (A = (0 1; -1 0)), dann hat A keine reellen EW, aber A^4 = E hat den EW 1. Im Komplexen hat A allerdings die EW lambda = -i, +i; so dass lambda^4 = 1 gilt.

[Cassie]

Also Castore, lass dich erst mal knuddeln.

Also ich werde nicht mal versuchen, in die Matheaufgabe einzusteigen, ich möchte dir nur mein Beileid aussprechen, weil man ja alleine bei der Formulierung die Krätze kriegt. Dass die das seit 1880 nicht mal sinnig umformulieren können, sondern uralte Aufgaben abschreiben müssen, spricht nur für die Faulheit der Klausurensteller.

[Harry]

Nein Cassie, nicht für die Faulheit der Klausurensteller, sondern für die der Mathematiker.
Und glaub mir, ich kann das beurteilen, denn ich bin selbst einer von der Sorte.

[Castore]

Heyho !

Erstmal danke an Arthur und Aristad ! Ihr habt mir da wirklich weiter geholfen. Hätte die Aufgabe wahrscheinlich nie alleine lösen können und Anfang Februar ist Klausur, zu der ich jetzt dann doch (wahrscheinlich) noch zugelassen werde. Also wirklich noch mal ganz großen Dank an dieser Stelle !

@Cassie: *zurückknuddel* Ja, die Aufgaben sind wirklich gräßlich ! Vor allen Dingen brauch ich den ganzen Kram später nieeeeeeeee wieder. Muss mich nebenher noch durch den Analysis I- Kurs quälen, was aber nicht ganz so schlimm wie LA ist. Aber auch da lern ich den ganzen Mist nur um ihn nie wieder anwenden zu müssen. Was eine Verschwendung von armen Gehirnzellchen...

[Cassie]

Nein Cassie, nicht für die Faulheit der Klausurensteller, sondern für die der Mathematiker.

Ich weiß das Mathematiker faul sind, bin ja selbst keine(r). Ich gebe ja zu, dass die Formeln, die Mathematiker entwickelt haben, ungeheuer energiesparend sind, aber kann man das dann nicht zurück in heutiges Deutsch übersetzen?

Ein Programmierer schafft das ja auch und da ist das ja sogar aus Pseudo-Englisch.

[Harry]

Wenn die Mathematiker die Formeln allgemeinverständlich halten würden, wäre es ja nichts besonderes mehr, daß man sie versteht und damit der Mathematiker an sich überflüssig. Von daher müssten die Mathematiker ja bekloppt sein, wenn sie es ordentlich formulierten. (Ok, der Irrsinn ist zwar bekannterweise die Grundvoraussetzung für den Job, aber das zählt nicht. )

Und der Programmierer ist eh ein Phänomen für sich. Der bekommt vom Wissenschaftler irgendwas vorgelegt und muß das dann durchschauen und programmieren.
Da kann es nur von Vorteil sein, wenn man gleich beides ist.

[Thies]

Da kann es nur von Vorteil sein, wenn man gleich beides ist.

Widerspruch!!!!

Ich code die Tools für meine Websites ja selber und meistens ist es besser mit gesundem Menschenverstand als mit Fachwissen Themen zu lösen

[Harry]

Da kann es nur von Vorteil sein, wenn man gleich beides ist.

Widerspruch!!!!

Ich code die Tools für meine Websites ja selber und meistens ist es besser mit gesundem Menschenverstand als mit Fachwissen Themen zu lösen

Is klar, aber um durch die mathematischen Formeln durchzublicken, kann es manchmal nicht schaden Mathematiker zu sein. Das vereinfacht im komplizierteren Formel-Bereich die Programmierung doch ungemein.

[Chris_TG]

...wobei man im Bereich Web-Programmierung eher sehr, sehr selten mit wirklich komplizierten Formeln in Kontakt kommt. Da ist ein " $Blah = ($Irgendwas / $Nochwas) * $Mirdochegal; " eher der Regelfall... glücklicherweise!

Gruß,
Chris

[Aristad]

Wenn die Mathematiker die Formeln allgemeinverständlich halten würden, wäre es ja nichts besonderes mehr, daß man sie versteht und damit der Mathematiker an sich überflüssig.

Dann würde man die Wörter verstehen, aber den Sinn dahinter noch lange nicht. Beim Programmieren ist es ähnlich: man kann das Pseudo-Englisch der meisten Programmiersprachen zwar lesen, aber deswegen versteht man noch lange nicht, wie so ein Programm funktioniert.
Nur bei gut kommentiertem Quellcode lohnt es sich zu versuchen zu verstehen wie das Programm funktioniert, wenn vernünftige Kommentare fehlen, kann man das Programm auch gleich neu schreiben. Die Mathematiker schreiben zu ihren Formeln auch Kommentare, in einer normalen Sprache

Die allermeisten Mathematiker rechnen auf Papier, da sind die ganzen Formelzeichen schon nützlich um nicht allzuviel schreiben zu müssen. Wenn jede kleine Rechnung über 5 Seiten gehen würde und man die meiste Zeit nicht mit Denken sondern mit Schreiben verbringen würde, dann wäre das sicherlich ineffektiv. Am Computer kann man dagegen sehr schnell schreiben, da stören längere Variablennamen überhaupt nicht.

[Ephirnion]

Schön zu sehen, dass sich auch noch andere Leute mit Mathe rumschlagen müssen. Ich hab meine Prüfung jetzt endlich hinter mir .... als angehender Chemiker

Viel Spaß weiterhin, und dass euch der Mut nie verlasse

[Koni]

Herzlichen Glückwunsch, Ephi, zur bestandenen Prüfung!!

[Manni_B]

@ Ephirnion

Von mir auch einen herzlichen Glückwunsch. Die 'Chemie-Riesen' warten jetzt auf dich.